HEGL-Workshop zum Thema Surreale Zahlen {L|R}

Written by Anja Faller, Emma Roser and Philipp Andres

1. Einführung

Dieser Workshop ist im Rahmen des HEGL-Seminars ”Mathematik unterrichten“ im Sommersemester 2025 an der Universität Heidelberg entstanden. Nach intensiver Auseinandersetzung mit der Konstruktion der reellen Zahlen innerhalb drei studentischer Präsentationen bestand unsere Aufgabe darin, einen Workshop für eine Schulklasse zu entwickeln und durchzuführen. Dabei fiel unsere Wahl auf das Konzept der surrealen Zahlen. Dieses eröffnet eine für die SchülerInnen neue spielerisch-logische Perspektive auf Zahlen, die über die normale Schulmathematik hinausgeht.

Der Workshop wurde im Juli 2025 mit einer neunten hochbegabten Klasse an einem Gymnasium durchgeführt und ist auf etwa zwei Unterrichtsstunden ausgelegt. Die Zeitplanung ist flexibel und lässt Raum für individuelle Pausen, sowie Anpassung der Bearbeitungszeit der Stationen je nach Tempo der Klasse.

Unser Ziel war es dabei, den SchülerInnen einen motivierenden und zugänglichen Einstieg in ein abstraktes und spannendes mathematisches Konzept zu bieten. Die surrealen Zahlen ermöglichen dabei nicht nur ein neues Verständnis von bekannten Zahlenarten, sondern fördern auch das logische Denken und setzen kreative Problemlösungsfähigkeiten heraus. Mit anschaulichen Beispielen und ersten Beweisen wollen wir eine Brücke für SchülerInnen zwischen Schul- und Hochschulmathematik schlagen.

2. Inhalt und Konzept

Der Workshop zum Thema der surrealen Zahlen gliedert sich in zwei Phasen. In der ersten Phase sollen die Grundlagen über die surrealen Zahlen vermittelt werden, in der zweiten Phase sollen die SchülerInnen ihre Kenntnisse selbstständig in der Stationsarbeit vertiefen. Dafür beginnt die Erarbeitungsphase mit dem Spiel Hackbush. Bei diesem soll das Interesse der SchülerInnen für Thema geweckt werden. Darauf aufbauend wieder das Konzept der Surrealen Zahlen und wie diese entstehen, vermittelt. Abschließend wird ein Einblick in die mathematischen Beweise durch den Beweis des Kommutativgesetzes der Surrealen Zahlen vollzogen.

Für die Durchführung der Workshops werden folgende Unterlagen benötigt:

  • Präsentationsvorlagen leer (auf einem Tablet)
  • Ausreichende Anzahl an Streichhölzern in rot und blau (jeweils 50)
  • Ausreichende Anzahl der Stationsvorlagen (ausgedruckt)

2.1 Die Präsentation

Die Präsentation ist interaktiv gestaltet mit einigen Pausen, um die SchülerInnen aktiv einzubinden. Hierzu können an folgenden Stellen passende Fragen gestellt werden.

Folie 1:

  • Das ausgedruckte Hackenbush Spiel verteilen
  • Den SchülerInnen das Spiel erklären
  • Die SchülerInnen zu zweit spielen lassen mit dem Ziel zu gewinnen

Folie 2:

  • Bogen vom Hackenbush Spiel zu den surrealen Zahlen: Erklären, dass jedem Spiel ein Wert zugeordnet werden kann, der aussagt, ob Spieler Rot oder Blau gewinnen wird und mit welchem Vorteil
  • Erste intuitive Konstruktion der surrealen Zahlen über das Spiel: zuerst leerer Spielplan, bei dem kein Spieler einen Zug hat (wer auch immer beginnt, verliert), dann jeweils ein blauer Stab und ein roter Stab.
  • Danach schwierigere Spiele, bei denen blaue und rote Stäbe kombiniert werden.
  • Interaktiv gestalten, in dem man die Werte der ersten drei Spielpläne erklärt und vorgibt und ab dann die SchülerInnen fragen, welcher Wert jeweils das nächste Spiel hat

Folie 3:

  • Fortsetzung Folie 2

Folie 4:

  • Einführung der SchülerInnen, dass mit jedem Tag neue Zahlen entstehen. Die neue Zahl wird dabei durch die bisher konstruierten konstruiert.
  • Einbindung der SchülerInnen, wie lautet die nächste Zahel
  • Vermittlung der Rechengesetze

Folie 5:

  • Darstellung wie ein mathematischer Beweis durchgeführt wird.

2.2. Stationsarbeit

In der Stationsarbeitsphase sollen die SchülerInnen sich aktiv mit den surrealen Zahlen beschäftigen. Hierfür sind drei Stationen konzipiert, welche jeweils von einer Lehrkraft / einem Studierenden betreut wird und bei Fragen und Unsicherheiten zur Verfügung steht. Nach 15 Minuten sollen jeweils die Stationen gewechselt werden. Dies kann optional entsprechend der Klassendynamik angepasst werden. Das Material ist so aufgebaut, dass zunächst eine Einführung für die Lehrkraft aufgeführt wird und anschließend die Aufgaben für die SchülerInnen.

2.3. Verlaufsplan

ZeitUnterrichtsphaseInhaltTeilzielSozialformMedien
8:35Vorstellung (5 min)Die Studierenden stellen sich der Klasse vor und erklären mit welcher Motivation sie heute gekommen sindPersönliche Bildung zwischen der Klasse und den Studierenden herstellenPlenum
8:40Einstieg (5 min)Heranführung an die Thematik der Surrealen Zahlen mit einem Einführungsspiel Vermittlung der Spielregeln von Hackenbush und Weckung von InteressePlenum
Partnerarbeit
Arbeitsblatt 1
8:45Erarbeitung (20 min)Vermittlung der Spielregeln von Hackenbush für die spätere StationsarbeitVertiefung des Verständnisses von HackenbushPlenumPräsentation Folie 2-4
9:05Erarbeitung (15 min)Vermittlung des Konzepts von Surrealen Zahlen mit dem Beispiel der Entstehung von Tag 0 bis 5 und Ausblick ins UnendlicheVermittlung des Verständnisses wie weit sich Surreale Zahlen weiter entwickeln könnenPlenumPräsentation Folie 5
9:20Erarbeitung (8 min)Erläuterung der Rechenregeln Bilden des Verständnisses wie man mit surrealen Zahlen rechnetPlenumPräsentation Folie 5 oder Tafel
9:28Erarbeitung (12 min)Beweis des KommutativgesetzesBildung des Verständnisses wie Beweise durch Induktion funktionieren um dies später auf den Beweis der Assoziativität in der Gruppenarbeit übertragen zu könnenPlenumPräsentation Folie 6 oder Tafel
9:40Pause (5 min)Klärung von offenen Fragen, sowie Einfindung in den Gruppen und kurze kognitive Regeneration
9:45Gruppenarbeit (30 min)Die SchülerInnen sollen sich in zwei Arbeitsgruppen zusammensetzen und jeweils die Arbeitsaufträge an den Stationen unter Anleitung der Studierenden bearbeiten. Dabei sollten Sie nach 20 Minuten die Station wechseln. Für besonders motivierte und engagierte SchülerInnen gibt es eine weitere Stationsarbeit mit dem Beweis der Gruppeneigenschaften.Vertiefen des Verständnisses über Surreale Zahlen und ihre AnwendungsbereicheGruppenarbeitStation 1 & 2 & (3)
10:15Zusammenfassung (10 min)Die SchülerInnen geben Feedback dazu was sie aus dem Workshop für sich mitgenommen haben Reflektion des Workshops Plenum
Einzelarbeit
Feedbackbogen

3. Fazit

Durch den Workshop am Gymnasium ist es uns gelungen, den SchülerInnen einen Einblick in die surrealen Zahlen zu geben. Der Verlaufsplan hat dabei eine hilfreiche Orientierung während des Unterrichts geboten. Die SchülerInnen konnten sich in der Erarbeitungsphase (erste Phase) aktiv einbringen. Direkt zu Beginn wurden alle SchülerInnen durch das Einstiegsziel Hackenbush miteinbezogen. Außerdem wurden bei der anschließenden Konstruktion der surrealen Zahlen nur die ersten Zahlen vom präsentierenden Studierenden konstruiert, danach sollten die SchülerInnen die nächsten Zahlen im Plenum gemeinsam mit dem Studierenden konstruieren.

Ein Kritikpunkt eines Schülers war, das nicht ganz klar wurde, wie Hackenbush mit den surrealen Zahlen zusammenhängt. Hier könnte noch genauer darauf eingegangen werden, wie man vom Vorteil des blauen Spielers zu der Schreibweise der surrealen Zahlen gelangt und was die linke und rechte Zahl in der Darstellung der surrealen Zahlen bedeutet. Hierbei muss jedoch auf die Zeit geachtet werden. Bei uns haben die beiden Schulstunden sehr gut zeitlich gereicht, dies könnte bei einer detaillierteren Erklärung jedoch möglicher weiße nicht mehr gegeben sein.

Die Stationsarbeit war gut strukturiert, jedoch gelang es nicht dauerhaft die Konzentration der SchülerInnen aufrecht zu erhalten. Dies könnte man zum Beispiel verbessern, indem die Struktur des Verlaufsplans beibehalten wird, aber in der Gruppenarbeitsphase nach 15 bis 20min die Stationsarbeit bewusst unterbrochen wird und die SchülerInnen verpflichtend zur nächsten Station wechseln. Alternativ könnten die einzelnen Einstiege im Wechsel mit der dazugehörigen Stationsarbeit bearbeitet werden (also zuerst Erarbeitung des Konzepts der surrealen Zahlen am Spiel Hackenbush, dann die Stationsarbeit zu Hackenbush, danach Erarbeitung der surrealen Zahlen von Tag 1 bis 5 und die Erklärung der Rechenregeln, danach die Stationsarbeit zu den Rechenregeln, …)

Auffällig war, dass vor allem die Station Zwei bei vielen SchülerInnen das Interesse geweckt hat, nach der Bearbeitung der Aufgaben sich selbstständig mit den Streichhölzern weiter zu beschäftigen. Während der Durchführung haben wir dies als positive Rückmeldung für uns aufgenommen. Jedoch sollte bei erneuter Durchführung der Fokus ggf. auf einer gleichmäßigeren Bearbeitung liegen.

Zusammenfassend können wir den Workshop als gelungen auswerten, welcher bei passenden Projektwochen problemlos verwendet werden kann.